实数 ​

正数和负数 ​

定义 ​

大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数也不是负数. 正数：如3， $\frac{1}{3}$，3.5等 负数：如-1，-$\sqrt{2}$，-35%等

有理数 ​

有理数 ​

我们学过的数有： 正整数：1，2，3，100……

负整数：-1，-2，-3……

零：0

正分数：$\frac{1}{2}$,$\frac{2}{3}$,$\frac{15}{7}$,$3\frac{1}{2},3.\dot{2}13\dot{4}$……

负分数：$-0.5,-\frac{1}{3},-\frac{5}{2},-0.\dot{8}$……

其中，正整数，0，负整数统称整数；正分数，负分数，统称为分数

整数和分数统称有理数

数轴 ​

定义：在数学中可以用一条直线及其上面的点来表示数，这条直线叫做数轴

数轴三要素：原点、正方向，单位长度

相反数 ​

在任意一个数前面填上-号，新的数就表示原数的相反数

例：$-(-5)=5,-(+5)=-5,-0=0$

绝对值 ​

一般地，数轴上表示数a的点到远点的距离叫做数a的绝对值，记作$\lvert a \rvert$

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即

（1）如果$a>0$，那么$\lvert a \rvert=a$

（2）如果$a<0$，那么$\lvert a \rvert=-a$

（3）如果$a=0$，那么$\lvert a \rvert=0$

有理数比较大小 ​

数学中规定，在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即在数轴上，左边的数小于右边的数。

有理数的加减法 ​

有理数的加法 ​

有理数加法法则：

1.同号两数相加，取相同符合，把绝对值相加 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加等于0 3.一个数同0相加，仍得这个数

有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变（加法交换律）

$a+b=b+a$

有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变（加法结合律）

$(a+b)+c=a+(b+c)$

有理数的减法 ​

有理数减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数。

这可以表示为：

$a-b=a+(-b)$

有理数的乘除 ​

有理数的乘法 ​

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任意数与0相乘都得0

乘法交换律:

$ab=ba$

乘法结合律:

$(ab)c=a(bc)$

乘法分配律：

$a(b+c)=ab+ac$

有理数的除法 ​

有理数除法法则：除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数

$a \div b = a \cdot \frac{1}{b}$

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0

有理数的乘方 ​

求n个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在$a^n$中，a叫做底数，n叫做指数

如果n>0,则$a^n$代表n个a相乘

如果n=0，则$a(a \neq 0)^n=1$

如果n<0，则$a^n$代表a的绝对值次方分之1($a^n=\frac{1}{a^{\lvert n \rvert}}$)，例如$a^{-3}=\frac{1}{a^{3}}$

科学计数法 ​

形如 $a \times 10^{n}(1\leq\lvert a \rvert<10)$

对于大数，将其化为科学计数法，可从左向右去掉第一位查剩下的位数作为$10$的指数$n$，a则为 第一位数.后面不为0的部分

例如：将$63200000000$用科学计数法表示为 $6.32\times 10^{10}$

对于小数位数多的数转化为科学计数法，可以查不为0前的部分0的数量的相反数作为 $10$ 的指数 $n$ ，将后面的部分在第一位之前加小数点作为a。

例如：将 $0.00000893$ 用科学计数法表示为：$8.93 \times 10^{-6}$

平方根 ​

算术平方根 ​

定义：一般地，如果一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^{2}=a$，那么这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，a的算数平方根记作：$\sqrt{a}$，读作“根号$a$”，a叫做被开方数

规定： 0的算术平方根是0

平方根 ​

定义：一般地，如果一个数的平方等于$a$，那么这个数叫做$a$的平方根（或二次方根），a的平方根记作：$\pm\sqrt{a}$

正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的一个就是这个数的算数平方根